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Algèbre linéaire Exemples
Étape 1
Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique .
Étape 2
La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille est la matrice carrée avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.
Étape 3
Étape 3.1
Remplacez par .
Étape 3.2
Remplacez par .
Étape 4
Étape 4.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 4.1.1
Multipliez par chaque élément de la matrice.
Étape 4.1.2
Simplifiez chaque élément dans la matrice.
Étape 4.1.2.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.2
Multipliez .
Étape 4.1.2.2.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.2.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.3
Multipliez .
Étape 4.1.2.3.1
Multipliez par .
Étape 4.1.2.3.2
Multipliez par .
Étape 4.1.2.4
Multipliez par .
Étape 4.2
Additionnez les éléments correspondants.
Étape 4.3
Simplify each element.
Étape 4.3.1
Additionnez et .
Étape 4.3.2
Additionnez et .
Étape 5
Étape 5.1
Le déterminant d’une matrice peut être déterminé en utilisant la formule .
Étape 5.2
Simplifiez le déterminant.
Étape 5.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.2.1.1
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 5.2.1.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.1.1.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.1.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.1.2
Simplifiez chaque terme.
Étape 5.2.1.2.1
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.2
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 5.2.1.2.3
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 5.2.1.2.3.1
Déplacez .
Étape 5.2.1.2.3.2
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.4
Multipliez par .
Étape 5.2.1.2.5
Multipliez par .
Étape 5.2.1.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 5.2.1.4
Multipliez par .
Étape 5.2.1.5
Multipliez par .
Étape 5.2.2
Additionnez et .
Étape 5.2.3
Déplacez .
Étape 5.2.4
Déplacez .
Étape 5.2.5
Déplacez .
Étape 6
Définissez le polynôme caractéristique égal à pour déterminer les valeurs propres .
Étape 7
Étape 7.1
Réécrivez comme .
Étape 7.2
Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.
Étape 7.3
Remplacez les valeurs , et dans la formule quadratique et résolvez pour .
Étape 7.4
Simplifiez
Étape 7.4.1
Simplifiez le numérateur.
Étape 7.4.1.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 7.4.1.2
Multipliez .
Étape 7.4.1.2.1
Multipliez par .
Étape 7.4.1.2.2
Multipliez par .
Étape 7.4.1.3
Multipliez par .
Étape 7.4.1.4
Réécrivez comme .
Étape 7.4.1.5
Développez à l’aide de la méthode FOIL.
Étape 7.4.1.5.1
Appliquez la propriété distributive.
Étape 7.4.1.5.2
Appliquez la propriété distributive.
Étape 7.4.1.5.3
Appliquez la propriété distributive.
Étape 7.4.1.6
Simplifiez et associez les termes similaires.
Étape 7.4.1.6.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 7.4.1.6.1.1
Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.
Étape 7.4.1.6.1.2
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 7.4.1.6.1.2.1
Déplacez .
Étape 7.4.1.6.1.2.2
Multipliez par .
Étape 7.4.1.6.1.3
Multipliez par .
Étape 7.4.1.6.1.4
Multipliez par .
Étape 7.4.1.6.1.5
Multipliez par .
Étape 7.4.1.6.1.6
Multipliez par .
Étape 7.4.1.6.1.7
Multipliez par .
Étape 7.4.1.6.2
Additionnez et .
Étape 7.4.1.7
Multipliez par .
Étape 7.4.1.8
Appliquez la propriété distributive.
Étape 7.4.1.9
Multipliez par .
Étape 7.4.1.10
Soustrayez de .
Étape 7.4.1.11
Additionnez et .
Étape 7.4.1.12
Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.
Étape 7.4.1.12.1
Réécrivez comme .
Étape 7.4.1.12.2
Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.
Étape 7.4.1.12.3
Réécrivez le polynôme.
Étape 7.4.1.12.4
Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait , où et .
Étape 7.4.1.13
Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.
Étape 7.4.2
Multipliez par .
Étape 7.5
La réponse finale est la combinaison des deux solutions.